Однако, в случае случайных блужданий, это утверждение можно значительно усилить. Одномерное дискретное случайное блуждание — это случайный процесс с дискретным временем, имеющий вид Марковские цепи и модели случайных блужданий имеют важное значение в математическом моделировании, особенно в задачах, где требуется учитывать неопределенность и случайность событий. Одним из важнейших аспектов случайных блужданий является их связь с диффузией, что находит практическое применение в таких областях, как физика, биология и экономика. Марковский процесс – это процесс, в котором вероятность перехода в следующее состояние зависит только от текущего состояния, а не от предыдущих шагов. Существуют также непрерывные случайные блуждания, которые являются обобщением дискретных блужданий и описываются дифференциальными уравнениями, как, например, брауновское движение.
В двухмерном пространстве, среднее число точек, которые проходит случайное блуждание на границе своей траектории равно r4/3. Тогда среднее количество шагов, необходимое, чтобы совершить блуждание, будет равно r2. Например, возьмем случайное блуждание и будем «шагать» до тех пор, пока не пройдем окружность радиуса r, умноженного на длину шага. Винеровский процесс — стохастический процесс, который по своему поведению схож с броуновским движением, физическим явлением диффузии мелких частиц в жидкости. Пал Эрдёш и Сэмюэл Джеймс Тейлор также показали в 1960 что для измерений, меньших или равных 4, два независимых случайных блуждания, начиная с любых двух заданных точек, почти наверняка имеют бесконечно много пересечений, но для измерений, превышающих 5, они почти наверняка пересекаются лишь конечное число раз. Формально, это случайное блуждание по множеству всех точек на плоскости с целочисленными координатами.
Случайное блуждание – как пример случайных процессов
При этом вращение происходит случайным образом в соответствии с некоторой плотностью вероятности направлений, зависящей от о шулерах локальной среды и состояния организма. Второй этап состоит в переориентации агента и выборе нового направления для последующего движения. Стратегия движения «run-and-tumble» наблюдается у некоторых видов бактерий и других микроскопических агентов .
Мал-лявеном в работе метод исследования переходных вероятностей диффузионных процессов нашел применение для гораздо более широкого класса задач анализа, геометрии, теории случайных процессов. Полученные нами однократные представления функционалов от случайного блуждания являются дискретными аналогами представлений для функционалов от стандартного броуновского движения о» полученных в работах , . В процессе решения подобных задач являются полезными различные варианты предельных теорем, позволяющие получать свойства стохастических интегралов от более сложных процессов, в частности, от фрактального броуновского движения с парамет- Распределение некоторых функционалов от случайных блужданий и процессов броуновского типа 41 §2.1.
CFA – Модель случайного блуждания
Для описания движения организмов исследователи активно применяют концепцию случайных блужданий. Численно исследованы параметры модели и найдены различные комбинации параметров, демонстрирующие смену режима с экспоненциального распределения длительностей на степенное распределение длительностей при переключении направления вращения моторов. Получить аналитическую форму средней скорости в математической модели для колонии бактерий в случае паттерна движения с двумя чередующимися углами и подтвердить ее в численном эксперименте при малом химическом градиенте. Данная задача лежит на стыке теории случайных блужданий и теории игр и имеет значение в контексте прикладных вопросов биофизики и социологии. Теория случайных блужданий является ярким примером тесного взаимодействия методов математики и статистической радиофизики с различными науками, такими как химия, физика, экономика, биология и другими. В теории вероятностей это допущение называется одномерным случайным блужданием.